Квадратный корень. Действия с квадратными корнями. Модуль. Сравнение квадратных корней

Что такое квадратный корень

Определение арифметического квадратного корня ясности не добавляет, но заучить его стоит:

Определение квадратного корня также можно представить в виде формул: √a = x x2 = a x ≥ 0 a ≥ 0

Из определения следует, что a не может быть отрицательным числом. То есть то, что стоит под корнем — обязательно положительное число.

Чтобы разобраться, почему именно так и никак иначе, давайте рассмотрим пример.

Попробуем найти корень из √-16

Здесь логично предположить, что 4, но давайте проверим: 4*4 = 16 — не сходится.

Если — 4, то -4 * -4 = 16, (минус на минус всегда дает плюс).

Получается, что ни одно число не может дать отрицательный результат при возведении его в квадрат.

Числа, стоящие под знаком корня, должны быть положительными.

Исходя из определения, значение корня также не должно быть отрицательным.

Здесь могут возникнуть резонные вопросы, почему, например, в примере x2 = 16, x = 4 и x = -4.

Метод Герона

Как поступить, когда необходимо хотя бы приблизительно знать, чему равен извлечённый корень (если невозможно получить целое значение)? Быстрый и довольно точный результат даёт применение метода Герона. Его суть заключается в использовании приближённой формулы:

√R = √a + (R — a) / 2√a,

где R — число, корень которого нужно вычислить, a — ближайшее число, значение корня которого известно.

Рассмотрим, как работает метод на практике, и оценим, насколько он точен. Рассчитаем, чему равен √111. Ближайшее к 111 число, корень которого известен — 121. Таким образом, R = 111, a = 121. Подставим значения в формулу:

√111 = √121 + (111 — 121) / 2 ∙ √121 = 11 — 10 / 22 ≈ 10,55.

Теперь проверим точность метода:

10,55² = 111,3025.

Погрешность метода составила приблизительно 0,3. Если точность метода нужно повысить, можно повторить описанные ранее действия:

√111 = √111,3025 + (111 — 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 — 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Проверим точность расчёта:

10,536² = 111,0073.

После повторного применения формулы погрешность стала совсем незначительной.

Разница между квадратным корнем и арифметическим квадратным уравнением

Прежде всего, чтобы разграничить эти два понятия, запомните:

• x2 = 16 не равно x = √16.

Это два нетождественных друг другу выражения.

• x2 = 16 — это квадратное уравнение.
• x = √ 16 — арифметический квадратный корень.

Из выражения x2 = 16 следует, что:

• |x| = √16, это значит, что x = ±√16 = ±4, x1 = 4, x2 = -4.

Если две вертикальные палочки возле x вводят вас в замешательство, почитайте нашу статью о модуле числа.

В то же самое время, из выражения x = √16 следует, что x = 4.

Если ситуация все еще кажется запутанной и нелогичной, просто запомните, что отрицательное число может быть решением только в квадратном уравнении. Если в решении «минус» — есть два варианта:

1. Пример решен неверно
2. Это квадратное уравнение.

Если вы извлекаете квадратный корень из числа, то можете быть уверены, вас ждет «положительный» результат.

Давайте рассмотрим пример, чтобы окончательно выяснить разницу между квадратным корнем и квадратным уравнением.

Даны два выражения:

1. x2 = 36
2. x = √36

Первое выражение — квадратное уравнение.

|x| = √36 x1 = +6 x2 = -6.

Второе выражение — арифметический квадратный корень.

√36 = 6 x = 6.

Мы видим, что результатом решения первого выражения стали два числа — отрицательное и положительное. А во втором случае — только положительное.

Отсев заведомо лишних чисел

Итак, у нас есть 10 чисел — кандидатов на корень. Мы получили их очень быстро, без сложных размышлений и умножений в столбик. Пора двигаться дальше.

Не поверите, но сейчас мы сократим количество чисел-кандидатов до двух — и снова без каких-либо сложных вычислений! Достаточно знать специальное правило. Вот оно:

Последняя цифра квадрата зависит только от последней цифры исходного числа.

Другими словами, достаточно взглянуть на последнюю цифру квадрата — и мы сразу поймем, на что заканчивается исходное число.

Существует всего 10 цифр, которые могут стоять на последнем месте. Попробуем выяснить, во что они превращаются при возведении в квадрат. Взгляните на таблицу:

Эта таблица — еще один шаг на пути к вычислению корня. Как видите, цифры во второй строке оказались симметричными относительно пятерки. Например:

22 = 4; 82 = 64 → 4.

Как видите, последняя цифра в обоих случаях одинакова. А это значит, что, например, корень из 3364 обязательно заканчивается на 2 или на 8. С другой стороны, мы помним ограничение из предыдущего пункта. Получаем:

[Подпись к рисунку]

Красные квадраты показывают, что мы пока не знаем этой цифры. Но ведь корень лежит в пределах от 50 до 60, на котором есть только два числа, оканчивающихся на 2 и 8:

[Подпись к рисунку]

Вот и все! Из всех возможных корней мы оставили всего два варианта! И это в самом тяжелом случае, ведь последняя цифра может быть 5 или 0. И тогда останется единственный кандидат в корни!

Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня

Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби.

Чаще всего, иррациональные числа можно встретить в виде корней, логарифмов, степеней и т.д.

Примеры иррациональных чисел:

√2 = 1,414213…;

π = 3,141592…;

e = 2,718281…. .

Чтобы упростить запись иррациональных чисел, математики ввели понятие квадратного корня. Давайте разберем пару примеров, чтобы увидеть квадратный корень в деле.

Дано уравнение: x2 = 2.

Сразу сталкиваемся с проблемой, поскольку очевидно, что ни одно целое число не подходит.

Переберем числа, чтобы удостовериться в этом:

1 * 1 = 1, 2 * 2 = 4, 3 * 3 = 9.

Отрицательные числа дают такой же результат. Значит результатом решения не могут быть целые числа.

Решение следующее: Строим график функции y = x2. Отмечаем решения на графике: -√2; √2.

Если попробовать извлечь квадратный корень из 2 с помощью калькулятора, то результат будет следующий: √2 = 1,414213… .

В таком виде ответ не записывают — нужно оставить квадратный корень. x2 = 2. x = √2 x = -√2.

Способы удаления корней – как быстро убрать и вывести

Сегодня удалить корни, которые остались после дерева, можно химическими, механическими способами.

Химический метод корчевания – использование селитры

Этот метод можно отнести к универсальным. Его очень часто используют садоводы при борьбе с пнями на своем участке. Суть метода в том, что древесные остатки необходимо сжигать, но только перед этим их пропитать сильным окислителем – селитрой. Также можно использовать селитру при уничтожении сныти на дачном участке.

Благодаря этому уникальному средств удается сжечь пень, причем сделать это можно не только с надземной частью, но с корнями. Перед тем как провести манипуляцию, необходимо выполнить ряд подготовительных мероприятий:

1. В дереве просверлить как можно большое отверстие, используя максимально толстые сверла. Такие действия проводить в конце лета или в начале осени.
2. В выполненное отверстие поместить селитру до верха. Для этих целей можно задействовать как калийный, так и натриевый состав. После этого селитру полить водой. Это позволит добиться лучшей пропитки древесины.
3. Верх отверстия прикрыть уже заранее подготовленными деревянными пробками. Еще можно воспользоваться полиэтиленовой пленкой, которую плотно перевязать по древесному стволу.

Каждый садовод встречался с такой проблемой на своём участке, как одуванчик, а вот как избавиться от одуванчиков на участке поможет понять данная информация.

На видео – удаление корней селитрой:

Подготовленный пень оставить в таком виде до следующего лета. За весь период времени его корневая система будет питаться селитрой и высыхать. Около пня необходимо развести огонь. Он должен гореть до полного разрушения остатков дерева.

Возможно вам также будет полезно узнать о том, как бороться с вьюнком полевым на огороде.

Когда верхний срез пня сосредоточен на одном уровне с грунтом, то в нем стоит выполнить дополнительные отверстия. Туда залить керосин или бензин.

Эту горючую смесь поджечь, чтобы горение поддерживалось по всему объему. Как только корни полностью выгорели, то место, на котором произрастал пенек, перекопать и забросать почвой.

Как выкапывать и выкорчевывать пеньки и корни

Этот способ отличается своей трудоемкостью. Его реально выполнить только при условии неглубокого расположения корней и средних размеров самого ствола. Для выполнения этой операции необходимо:

1. Около пня выполнить траншею. Ее глубина будет составлять 1 м.
2. Используя лопату штыкового типа и топор, нужно удалить все боковые ветки корневой системы.
3. При помощи лома, который необходимо внести под пенек, выполняется расшатывание его из одной стороны в другую.
4. Кроме этого, необходимо лопатой постоянно подрезать оголяющиеся нижние отростки корневой системы.
5. Как только корневые ответвления были удалены, то остатки ствола становятся свободными и извлекаются из углубления.

Также стоит больше узнать о том, как избавиться от хмеля на участке, и какие средства самые эффективные.

На видео – выкапывание и корчевание корней:

Еще на участке корчевание можно выполнять при помощи специальной техники. Когда диаметр ствола менее 30 см, то для его удаления необходимо использовать трос. Его подцепить за пенек и при помощи трактора создать тяговое усилие. Используя этот метод, спиливание дерева выполняется очень высоко – не менее 1 м над уровнем земли. При этом трос будет прочно зафиксирован на нижнем остатке пня.

Если техника не может подъехать к пню, то можно воспользоваться мини-трактором или лебедкой. Но тогда обрубание нужно производить более крупных боковых отростков. Делать это на глубину 30 см. А самым удачным будет вариант обкопки около ствола на уровень 0,5 м. Ещё одной проблемой на садовом участке является клен, и какими химикатами можно от него избавиться указано здесь.

Как выводить и уничтожать при помощи измельчения пней

Для устранения пня необходимо использовать специальные устройства, при помощи которых можно измельчить дерево. Чаще всего задействуют лесные фрезы. При помощи такой фрезы удается за одни заход измельчить древесину на глубину до 30 см.

Основным минусом такого метода остается высокая стоимость аппарата. Кроме этого, нецелесообразно покупать фрезы и инструмент для единичного удаления пня.Возможно вам также будет полезно узнать о том, как избавиться от осота на участке навсегда, а для этого стоит перейти по ссылке.

На видео – использование специального оборудования:

Использование соли, чтоб избавиться от корней

Это еще один вариант химического удаления пней на участке. Дело в том, что соль – это самый простой катализатор процесса. Причем использовать стоит именно поваренную соль.
Необходимо в пне выполнить углубление глубиной 8 см и диаметром 10-15 мм. Чем больше будет таких отверстий, тем только лучше. В выполненные лунки насыпать соль, а сверху притрусить землей. Результатом такой обработки станет полное разрушение остатков дерева. Но наблюдать это можно будет только через год. Очень интересным вопросом является борьба с мокрицей на садовом участке, а вот как проводятся все работы по её уничтожению изложено в статье по ссылке.

Выкорчевка мочевиной

Этот метод идентичен тому, где нужно было использовать селитру или соль. Для начало в пне выполнить сверлами отверстия. В полученные углубления отправить мочевину. Верх полить водой, а затем укутать пень полиэтиленом. Через 1-2 года можно будет убрать остатки перегнившего пня, а на этом месте рассыпать плодородный грунт.
Чтобы поместить 1 кг мочевины, необходимо будет выполнить примерно 30 отверстия. При этом их диаметр должен быть около 1 см, а глубина 30 см. Расход мочевины на удаление пня среднего размера осуществляется по аналогии с селитрой. А вот как вывести крапиву с участка, и какие химикаты стоит использовать. поможет понять данная информация.

К достоинствам такого метода стоит отнести:

• минимум физической работы;
• почва не насыщается нитратами;
• полное удаление пня, благодаря чему участок можно использовать для последующей застройки, выполнения клумбы или сада.

Есть у этого метода свои минусы:

• продолжительный срок уничтожения пня;
• нужно покупать дополнительные материалы;
• большой расход химикатов.

Стоит перейти по ссылке и узнать о том, как избавиться от лопуха на участке, и какими средствами это сделать быстрее всего.

Удалять пни у себя на участке не так и просто. Это достаточно кропотливое дело, но все-таки выполняемое. Кроме этого, каждый огородник сможет сам определить для себя подходящий вариант, принимая во внимание размер пня и свои возможности. Если вам некуда спешить, то стоит воспользоваться химическими методами. Если же удаление пней – дело неотложное, то придется потратить деньги на покупку специальной техники или инструментов.

Извлечение корней

Решать примеры с квадратными корнями намного легче, если запомнить как можно больше квадратов чисел. Для этого воспользуйтесь таблицей —

и используйте для решения задачек.

Таблица квадратов

Вот несколько примеров извлечения корней, чтобы научиться пользоваться таблицей:

• 1. Извлеките квадратный корень: √289

Ищем в таблице число 289, двигаемся от него влево и вверх, чтобы определить цифры, образующие нужное нам число.

Влево — 1, вверх — 7.

Ответ: √289 = 17.

• 2. Извлеките квадратный корень: √3025

Ищем в таблице число 3025. Влево — 5, вверх — 5.

Ответ: √3025 = 55.

• 3. Извлеките квадратный корень: √7396

Ищем в таблице число 7396.

Влево — 8, вверх — 6.

Ответ: √7396 = 86.

• 4. Извлеките корень: √9025

Ищем в таблице число 9025.

Влево — 9, вверх — 5.

Ответ: √9025 = 95.

• 5. Извлеките корень √1600

Ищем в таблице число 1600.

Влево — 4, вверх — 0.

Ответ: √1600 = 40.

Извлечением корня называется нахождение его значение.

Вынесение множителя из-под знака корня

С тем, как вносить множитель под корень мы, кажется, разобрались. Но алгебра — такая алгебра, поэтому теперь неплохо бы и вынести множитель из-под знака корня.

Дано выражение в виде квадратного корня из произведения.

Вы уже наверняка без труда извлекаете квадратный корень из чего угодно, поэтому знаете, что делать.

Извлекаем корень из всех имеющихся множителей.

В данном выражении квадратный корень мы можем извлечь только из 4, поэтому:

Таким образом множитель выносится из-под знака корня.

Давайте разберем примеры. Попробуйте вынести множители из-под знака корня самостоятельно, сверяясь с ответами.

1. √28
   Раскладываем подкоренное выражение на множители 28 = 7*4.

   Извлекаем корень из 4. Множитель 7 оставляем под знаком корня.

2. Ответ: по правилу извлечения квадратного корня из произведения, Так как вынесенный множитель должен стоять перед подкоренным знаком, то меняем их местами.
3. Вынесите множитель из-под знака корня в выражении: √24
   Ответ: Раскладываем выражение под корнем на множители 24 = 6 * 4.
4. Упростите выражение:

   
   Вынесем в двух последних выражения множитель из-под знака корня.

   
   Умножаем (-4 * 4) = -16. Все остальное выражение записываем в неизменном виде.

   
   Мы видим, что во всем выражении есть один общий множитель — √5. Выносим общий множитель за скобки:

   
   Далее вычисляем все, что в скобках:

Работа с переменными

Если не считать определения, то мы знаем о корнях две вещи. Во-первых, корни понижают степени, но добавляют модули:

Во-вторых, корни можно умножать и делить. Но не всегда:

До сих пор мы тренировались лишь на конкретных числах. И многие могут удивляться: зачем все эти рассуждения про модули и ограничения?

Сейчас мы заменим числа буквами — и задача резко усложнится. Или не усложнится — если вы внимательно изучите то, что написано дальше.:)

3.1. Раскрытие модуля через свойства степеней

Начнём с простого. Мы уже знаем, как избавляться от точной степени:

Попробуем применить эту формулу к двум различным выражениям:

В первой строке мы без труда раскрыли модуль, поскольку знаем, что число под модулем отрицательно. Затем посчитали — получили ответ.

Но как раскрыть модуль во второй строке? Ведь правила раскрытия будут меняться в зависимости от того, какое значение принимает переменная. И если никаких дополнительных ограничений на переменную нет, то модуль так и останется нераскрытым. Взгляните:

Замените выражение тождественно равным, не содержащим знака корня:

Из приведённых примеров видно:

• В строках (2) и (4) мы можем раскрыть модуль, ничего не зная о переменной;
• В строках (1) и (3) раскрыть модуль не удалось.

Почему? Чётные степени в строках (2) и (4) при любом значении переменной будут положительным числом или нулём. Поэтому модуль однозначно раскрывается со знаком «плюс».

Нечётная степень в строках (1) и (3) таким свойством не обладает: она может оказаться как положительным числом, так и отрицательным. Поэтому модуль раскрыть нельзя.

Попробуйте сами:

Задание. Замените выражение тождественно равным, не содержащим знака корня:

[показать ответ]

Чётные степени всегда неотрицательны, нечётные степени могут принимать любой знак:

Тем не менее, модуль нечётной степени тоже можно раскрыть. Если в задаче есть дополнительные условия.

3.2. Учёт дополнительных ограничений

Зачастую в самом условии задачи содержатся ограничения на переменную, которые помогают однозначно раскрыть модуль. Пример:

Упростите выражение:

Работаем по тем правилам, которые изучали выше:

Обратите внимание: в строке (2) чётные степени под корнем дают три неотрицательных числа, поэтому корень можно разбить на три изолированных множителя — область определения при этом не поменяется; затем в строке (3) мы видим чётную степень под модулем и раскрываем его.

Ещё раз запишем результат и дополним его исходными условиями:

В первом случае выражение под модулем положительно или ноль, поэтому модуль однозначно раскрывается со знаком «плюс». Во втором — отрицательно или ноль, поэтому модуль раскрывается со знаком «минус»:

Возможно, у вас возникает вопрос: почему мы пишем множитель 1 или −1, но не рассматриваем отдельно множитель 0? В этом фишка модуля:

Таким образом, в нуле модуль можно раскрывать любым удобным способом.

Попробуйте самостоятельно:

Задание. Упростите выражение:

[показать ответ]

Это были весьма примитивные выражения, сводящиеся к раскрытию модуля. На них мы отработали важный новый навык. Теперь воспользуемся этим навыком для решения более интересных задач.

Сравнение квадратных корней

Мы почти досконально разобрали арифметический квадратный корень, научились умножать, делить и возводить его в степень. Теперь вы без труда можете вносить множители под знак корня и выносить их оттуда. Осталось научиться сравнивать корни и стать непобедимым теоретиком.

Итак, чтобы понять, как сравнить два квадратных корня, нужно запомнить пару правил.

Если:

• √a < √b, то a < b
• √a = √b, то a = b

Давайте разберем на примере.

Сравните два выражения: √70 и 8√2

Первым делом преобразуем второе выражение: 8√2 = √64 * √2 = √64*2 = √128.

70 < 128.

Это значит, что √70 <� 8√2.

Запоминаем

Чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень.

Потренируйтесь в сравнении корней. Сверяете свои результаты с ответами.

1. Сравните два выражения: √50 и 9√5
   Ответ: преобразовываем выражение 9√5.

   9√5 = √81 * √5 = √81*5 = √405

   50 < 405

   Это значит, что √50 < 9√5.

2. Сравните два выражения: 6√5 и √18
   Ответ: преобразовываем выражение 6√5.

   6√5 = √36 * √5 = √36*5= √180

   180 > 18

   Это значит, что 6√5 > √18.

3. Сравните два выражения: 7√12 и √20
   Ответ: преобразовываем выражение 7√12.

   7√12 = √49 * √12 = √49*12 = √588

   588 >20

   Это значит, что 7√12 > √20.

Как видите, ничего сложного в сравнении арифметических квадратных корней нет.

Самое главное — выучить формулы и сверяться с таблицей квадратов, если значения корня слишком большие для легкого вычисления в уме.

Не бойтесь пользоваться вспомогательными материалами. Математика просто создана для того, чтобы окружить себя подсказками и намеками.

Когда вы почувствуете, что уже достаточно натренировались в решении примеров с квадратными корнями, можете позволить себе время от времени прибегать к помощи онлайн-калькуляторов. Они помогут решать примеры быстрее и быть эффективнее.

Таких калькуляторов в интернете много, вот один из них.